《怎样解题》

一句话结论

解题可以通过练习来改进：弄清问题，寻找联系，检查推理，再把这次成功变成下次可用的经验。

值不值得读完整本？

值得读完整本，但适合边做题边读、分次读完。只记住四个解题阶段，会错过本书最有用的部分：卡住时怎样提问，以及怎样从一道题里学到更多。

• 先读卷首的解题问题表和第一部分“在教室里”，重点跟随长方体对角线的例子，观察理解、计划、执行和回顾怎样衔接。
• 接着读第二部分的简短对话，把它当作自己解题时可以反复查看的提醒。
• 第三部分是启发式词典，先读类比、辅助问题、分解与重组、归纳与数学归纳法、从后往前推等条目；历史人物条目和暂时看不懂的例子可以留到第二遍。
• 第四部分必须配合纸笔练习：先独立尝试，再看提示，最后对照解答。读完后补读词典中与自己卡点有关的条目。

核心观点

1. 先弄清问题，再组织解题过程

解题要区分理解问题、拟订计划、执行计划和回顾四个阶段。理解问题尤其要明确未知量、已知数据和条件；证明题则要分清假设与结论。

为什么：没有弄清目标，就无法判断某一步是否有用。把条件拆开，能检查它们是否充分、矛盾或多余，也能发现自己偷偷加入的假设。图形和适当的符号能让关系更容易看见。四阶段提供的是思考方向，实际探索中可以返回前面的阶段。

2. 计划来自新问题与旧知识的联系

想出计划，往往要寻找做过的相关问题、可能有用的定理或相同的未知量。关键是找到能够迁移的关系，而不只是认出相似的题面。

为什么：已有知识只有被当前问题唤起，才能参与解题。从未知量、条件或结构出发搜索，能使回忆更有方向。找到旧问题后，还要判断它的结果或方法能否使用。有时必须添加辅助线或其他辅助元素，才能建立这种联系。

3. 卡住时改变问题，寻找可以搭桥的辅助问题

原题无从下手时，可以先处理特殊情形、放宽部分条件、分解问题，或者从目标往回推；有时更一般的问题反而更容易解决。

为什么：原来的表述可能把有用关系藏住，改变问题能让这些关系显露出来。较容易的辅助问题可以提供结果、方法或值得检验的猜想。更一般的表述有时能消除偶然细节，使规律更清楚。但解决辅助问题后，必须说明怎样回到原题，并恢复被暂时放下的条件。

4. 发现时允许猜想，执行时必须检查

类比、观察实例和归纳可以帮助发现解法，但不能自动成为证明。执行计划时，要检查每一步成立的理由。

为什么：探索初期通常还没有完整的演绎链条，暂时的猜测能帮助选择方向。实例可以支持猜想，也可能暴露反例，却不能仅凭数量保证普遍成立。把猜想当成证明，会让未经检查的环节混进结论。因此，找到思路之后，还要补足论证；数学归纳法也不能与观察实例的归纳混为一谈。

5. 回顾让一次解答变成可迁移的经验

得到答案后，还应检查结果与论证，寻找其他解法，并考虑结果或方法还能用于什么问题。

为什么：完成计算不代表已经理解解法。特殊情况、对称性和量纲等检查，可以从不同角度发现错误。比较不同推导，能帮助辨认真正起作用的关系。把这些关系与其他问题联系起来，才更可能在以后需要时想起它们。

6. 通过适量提示和亲自练习，培养独立解题

教师既要帮助学生解决眼前的问题，也要培养学生以后独立解题的能力。提示应从一般问题逐渐具体化，让学生承担尽可能多的思考。

为什么：完全没有帮助，学生可能长期停在没有进展的尝试上。直接交出关键招数，又容易让学生只学到这道题的答案。适量提示能推动探索，同时保留学生自己发现联系的机会。在不同题目中反复使用这些问题，学生才可能逐渐把教师的提问变成自己的思考习惯。

反对意见

策略名称还不够，必须教会选择和监控（艾伦·舍恩费尔德）

舍恩费尔德在《Pólya, Problem Solving, and Education》中指出，早期启发式教学的迁移效果并不稳定。“考虑特殊情况”这类建议包含许多不同操作，学生还需要学会何时使用、怎样使用，以及何时停止无效尝试。这是对波利亚方法如何落地的建设性修正，并非否认启发式的价值。

解出题目不一定等于学会解题（约翰·斯威勒）

斯威勒在《Cognitive Load During Problem Solving: Effects on Learning》中提出，新手不断比较当前状态与目标、设置子目标，会占用大量有限的认知资源，反而妨碍学习问题背后的结构。他据此主张更多使用完整例题或不指定单一目标的任务。这限制了“多进行目标导向的解题搜索就能学得更好”的想法，不能据此否定波利亚的全部建议。

新手可能需要比提问更多的明确指导（基尔施纳、斯威勒、克拉克）

三位作者在《Why Minimal Guidance During Instruction Does Not Work》中主张，先备知识较少的学习者通常需要明确解释概念和程序，而不能主要靠自己发现。已有知识增加后，减少指导才更有条件奏效。这篇论文批评的是最低限度指导的教学；波利亚也主张教师提供帮助，因此它提出的是适用条件上的挑战。

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• 《数学与合情推理》第一卷：数学中的归纳和类比：进一步学习怎样从实例与类比形成猜想，并理解发现过程与严格证明的区别。
• Mathematical Discovery: On Understanding, Learning, and Teaching Problem Solving（《数学的发现》，第一、二卷合订版）：通过更丰富的数学问题，继续练习发现解法以及理解和教授解题过程；此处年份指合订版。
• Thinking Mathematically：顺着波利亚的方向，把入题、探索、卡住和回顾变成可以亲自练习的数学思考活动。
• Pólya, Problem Solving, and Education：属于建设性修正：解释为什么一般启发式建议还需要具体操作与过程监控的训练。
• Cognitive Load During Problem Solving: Effects on Learning：从认知负荷角度解释，为什么努力搜索答案有时反而不利于掌握可迁移的知识。
• Why Minimal Guidance During Instruction Does Not Work: An Analysis of the Failure of Constructivist, Discovery, Problem-Based, Experiential, and Inquiry-Based Teaching：提供强调明确指导的教学立场，帮助检验以提问推动学生发现的方法对新手是否足够。