书 · 1954 · 乔治·波利亚（George Pólya）

《数学与猜想》

逻辑与思维书单第 39 名

一句话结论

数学发现既需要严格证明，也需要有根据地猜测；这本书教你怎样提出猜想、比较证据，并在发现错误时调整判断。

值不值得读完整本？

值得读完两卷，尤其适合想理解“证明之前怎样思考”的读者。它的价值需要通过动手尝试才能充分体会，单看结论容易觉得方法过于普通。

先读第一、二章，掌握归纳、一般化、特殊化与类比，再读第七章，分清探索性的归纳观察与严格的数学归纳法。
第三至六章、第八至十一章提供不同领域的练习。每个领域至少细做一个实例；初读可以暂跳超出自己数学基础的计算和难题。
第二卷第十二至十五章值得慢读：重点是哪些证据更有分量、竞争性猜想怎样影响判断，以及概率演算能够说明什么。
最后读第十六章，并回头重做几道题。先独立尝试，再看提示和解答；不必完成全部习题，但要能解释自己为什么提出或放弃某个猜想。

核心观点

1. 发现与证明互相配合，承担不同任务

合情推理帮助我们找到值得研究的命题和证明方向，严格证明负责确立结论。一个猜想很有根据，仍不等于它已经成为定理。

为什么：面对陌生问题，我们通常还不知道该证明哪个命题，更不知道该采用哪条路线。观察和类比能够缩小搜索范围，把注意力引向有希望的方向。但这些线索没有排除所有出错的可能，所以必须继续寻找证明。数学归纳法虽然也叫“归纳”，却通过起始情形和一般的递推步骤建立演绎证明，与检查若干实例不同。

2. 归纳的关键，是让猜想接受可能失败的检验

从实例提出一般猜想后，应继续检查新情形，并愿意根据结果修订判断。合理的归纳态度同时需要开放、诚实和克制。

为什么：最初的实例能够提示规律，但猜想可能只是迎合了已经看过的材料。检查新情形，才能让它面对尚未迎合过的事实。对全称命题，反例能够推翻它，而有限个成功实例通常不能证明它，因此检验必须认真寻找失败的可能。不过，没有充分理由就随意改换判断，同样妨碍积累可靠认识。

3. 通过一般化、特殊化和类比，改变问题的入口

遇到难题时，可以研究更广的命题、较容易的特殊情形，或结构相似的另一个问题。三种方法往往需要来回配合。

为什么：特殊化减少变化因素，使原本隐藏的关系更容易看见。一般化把多个问题放进同一框架，有时反而能显出共同的结构。类比则让已解决的问题为新问题提供候选关系和解题路线。它们产生的是值得检验的线索，可靠程度取决于关系是否对应，不能仅凭表面相似就搬用结论。

4. 证据的分量，不能只按成功次数计算

不同的验证，对同一个猜想可以提供不同强度的支持。类型不同、原先不容易预料的结果得到验证，通常比重复相近的检查更有分量。

为什么：如果新检查与已经成功的检查非常相似，它新增的信息可能很少。不同类型的检查则能从不同方向暴露猜想的弱点。如果一个猜想推出的结果原本很不容易预料，而结果确实成立，它便表现出更强的解释或预测能力。因此，评估证据要问检验了什么、原先有多意外，以及此前已经知道什么。

5. 比较竞争性猜想，同时尊重概率计算的边界

判断一种解释是否可信，要考虑其他解释，尤其要考虑偶然性。概率演算可以帮助理解支持关系，但一般猜想的可信程度未必能合理地写成精确数字。

为什么：一个结果与某个猜想相容，并不表示它只能由这个猜想解释。如果偶然性或其他猜想也容易产生同样结果，这项证据就不容易区分它们。比较竞争解释，才能看出证据究竟偏向哪一方。不过，具体问题常缺少可信的数值依据；这时判断可信度上升还是下降，比硬给一个精确概率更稳妥。

6. 学会猜想，需要练习判断过程

合情推理是一种实践技能，不能只靠背诵方法名称获得。教学应让学习者经历观察、猜测、检验和修正的过程。

为什么：一般建议不能预先指定每道题该选哪个特殊情形、建立哪种类比。学习者需要亲自作出选择，才能发现某种做法在什么条件下有效。尝试之后再分析解答，比较容易辨认其中真正关键的想法。这样积累的是选择和评价方法的能力，而不仅是模仿已经完成的证明。

反对意见

宽泛的启发式建议，初学者未必会用（舍恩菲尔德）

Alan H. Schoenfeld在1992年的《Learning to Think Mathematically: Problem Solving, Metacognition, and Sense-Making in Mathematics》中指出，波利亚式策略往往足以让人事后认出某种解法，却未必细到能指导初学者实际执行。例如，“考察特殊情形”仍留下关键问题：究竟选哪些情形？他主张细化具体策略，并加入对解题进程的监控。这是在延续波利亚的基础上，指出其教学方法需要补充的部分。

“合情”容易让客观证据听起来像主观说服力（富兰克林）

James Franklin在《Non-deductive Logic in Mathematics》中肯定本书的开创性，却批评书名中的措辞容易让人联想到“听起来有道理”。他的重点是：证据与猜想之间存在值得研究的合理支持关系，不能只用个人是否被说服来描述。这个批评主要针对概念表达；富兰克林也明确承认，波利亚本人关心的是证据能够合理支持多大程度的信念。

通过检验，不等于获得归纳确证（波普尔，方法论对照）

Stephen Thornton在《Karl Popper》条目中介绍的波普尔立场，拒绝用归纳确证普遍的科学理论，强调提出可证伪的猜想并实施严厉检验。理论通过检验，可以说明它经受住了挑战，却不能据此获得归纳意义上的确证。这与波利亚讨论“验证后果怎样提高可信度”形成对照，但两人都重视检验；这里主要涉及经验科学的方法论，并非波普尔对本书的直接批评。